Програмные Продукты
Учителям и Родителям
Конкурсы
Обратная Связь


Ткачевой м. в., васильковой е. н. и чуваевой т. в

загрузка...


методика Введения основ теории вероятностей и статистики в школьный курс математики

В стандартах второго поколения введение теории вероятностей и элементов математической статистики планируется в достаточно большом объёме уже в 5-6 классах. Ткачевой М.В., Васильковой Е.Н. и Чуваевой Т.В. был проведен эксперимент о готовности учащихся к изучению стохастики, результаты представлены в их статье Ткачева М.В. «О готовности учащихся к изучению стохастики» // Математика в школе. – 2003. - №9. На основе проведенных экспериментов были сделаны следующие выводы. В 5 классе у детей достаточно высокий уровень комбинаторного мышления, а затем, если в течение 6-7 классов его не развивать, то навыки решения комбинаторных задач существенно снижаются. Большинство учащихся 5-6 классов готовы к восприятию понятия вероятность в классическом и геометрическом истолковании. Желательно обучать детей 5-6 классов самостоятельному целенаправленному сбору информации о явлениях окружающей их жизни, подсчету данных в небольших выборках.

^ Основными задачами на этом этапе являются:


  • Выработка умений и навыков работать с таблицей, извлекать из таблиц информацию и анализировать ее.

  • Выработка умений заполнять в таблице пустые графы (строки, столбцы).

  • Формирование умений читать диаграммы, извлекать необходимую информацию.

  • Формирование умений и навыков в составлении, выборе и упорядочении комбинаторных наборов.

  • Формирование умений подсчета комбинаторных объектов, методом непосредственного перебора.

  • Показать, что такое дерево возможных вариантов, его использование как один из методов решения КЗ.

  • Формирование представления о том, какое событие является достоверным, какое невозможным, и какое событие мы можем назвать случайным.

  • Формирование у учащихся понимания степени случайности в различных событиях и явлениях и использование для ее оценки адекватных вероятностных терминов («достоверно», «маловероятно» и т.д.).

Несформированность этих умений и навыков наши учащиеся продемонстрировали при сдаче ЕГЭ и ГИА 2009-2010 учебного года. Между тем, умения и навыки работы с таблицами и диаграммами отдельной темой не выносятся, кроме двух часов в 5 классе и двух часов в шестом классе. Для формирования умения работать с диаграммами, как показывает практика, этого явно недостаточно. Учащиеся этого возраста могут вычислять не только среднее арифметическое, но и находить моду, медиану, размах ряда, проводить простейшие исследования выборки и по полученным данным делать выводы, что расширит круг прикладных задач и «привяжет» математику к жизни, повысит заинтересованность учащихся в изучении предмета.

Начинать обучение комбинаторике целесообразно с решения простых комбинаторных задач методом непосредственного перебора. Операция перебора раскрывает идею комбинирования, служит основой для формирования комбинаторных понятий и хорошей подготовкой к выводу комбинаторных формул и закономерностей.

Основными комбинаторными понятиями являются сочетания, перестановки и размещения. Но на первом этапе сами термины можно не вводить, главное, чтоб учащийся осознавал, наборы какого типа требуется составить в данной задаче (важен ли порядок и возможны ли повторения).

После того, как учащиеся научатся составлять наборы из элементов заданного множества по заданному свойству, на первый план выходит задача по подсчету количества возможных наборов. Такие комбинаторные задачи решаются с помощью рассуждений, раскрывая принцип умножения. Хорошей наглядной иллюстрацией правила умножения является дерево возможных вариантов. Очень важно показать его применение при решении комбинаторных задач.

Комбинаторные задачи решаются с помощью умножения и деления, следовательно, данный вид задач можно вводить во время повторения материала начальной школы и совершенствования вычислительных навыков учащихся. Такой подход позволит им «не скучать» при повторении уже знакомых действий, кроме того комбинаторные задачи включают большое количество нестандартных сюжетов, что позволяет формировать умения и навыки анализа данных, учит рассуждать и делать выводы. В отличие от большинства текстовых задач, изучаемых в школьном курсе математики, комбинаторные задачи не поддаются одному алгоритму и выводы могут быть самыми неожиданными, что учит учащихся творчески мыслить.

Одним из направлений стохастической линии является теория вероятностей, где одной из важных задач на первом этапе является формирование понятия - вероятность случайного события.

Сначала необходимо дать понятие случайного события, сформировать представление о том, какое событие называется достоверным, какое невозможным и какие события называются равновероятными. Все эти понятия нужно вводить, опираясь на понятные примеры, и просить детей самих приводить такие примеры. Учитель должен все время фиксировать внимание учащихся на случайных явлениях в быту, в природе и технике.

Необходимо развить у учащихся понимание степени случайности различных явлений и событий. При этом учитель сам должен качественно оценивать ответ, так как часто ответ является субъективным.

Понятие вероятности случайного события, на наш взгляд, можно вводить при знакомстве с обыкновенными дробями. Таким образом, мы демонстрируем учащимся целый раздел математики, в котором задачи решаются только в дробях, причём чаще в обыкновенных, мотивируя их тем самым к изучению новых для них чисел и правил действия с ними. В дальнейшем вероятностные и статистические задачи, естественным образом, подводят учащихся к необходимости изучения темы «Проценты».

Комбинаторика, теория вероятностей и математическая статистика являются достаточно действенными инструментами для повторения и изучения действий с натуральными числами, обыкновенными и десятичными дробями, процентами.

^ Основные задачи введения стохастической линии в курс 6 класса:

  • Отработка умений и навыков в составлении и подсчете числа комбинаторных наборов.

  • Показать учащимся, как можно решать комбинаторные задачи с помощью рассуждений. Познакомить учащихся с правилом умножения при подсчете числа возможных вариантов, сформировать умения по его применению.

  • Познакомить с правилом суммы

  • Формировать умение строить дерево возможных вариантов.

  • Формировать умение сравнивать вероятности разных событий (более вероятно, менее вероятно)

  • Познакомить с понятиями статистической частоты и вероятности, с методом оценки вероятности через статистические испытания.

В 6 классе в теме «Комбинаторика» продолжаем рассматривать комбинаторные задачи, на первый план выходят задачи по подсчету числа возможных вариантов.

Существует несколько подходов к преподаванию комбинаторики: теоретико-множественный, лексикографический и теоретико-вероятностный. В школе преимущество отдается теоретико-множественному подходу, но будет полезным частично обратиться и к лексикографическому подходу. При таком подходе все определения опираются на представление об алфавите, словах, длине слов и др. и являются пропедевтическими для дальнейшего преподавания курса информатики.

В 6 классе продолжаем вероятностную линию. Начинаем с повторения, что такое случайное событие, определение его достоверности (невозможное, достоверное, маловероятное). Новой задачей становится формирование умения оценивать вероятности двух и более событий (более или менее вероятно).

Полезно рассматривать задачи, в которых при ответе на вопросы необходимо опираться на свою интуицию. Можно рассматривать реальные жизненные ситуации, чтобы учащиеся видели непосредственную связь изучаемого с действительностью.

В 6 классе учащимся предлагается качественно новая деятельность для урока математики – проведение экспериментов. Это могут быть эксперименты с подбрасыванием кубика, монеты или кнопки. Все результаты экспериментов необходимо оформлять в виде таблиц, которые заполняются по ходу эксперимента.

Для проведения экспериментов учащихся лучше разбить группы по 2-3 человека, один из которых будет фиксировать результаты эксперимента, а остальные проводить его. После проведения эксперимента, вводится понятие частоты и вероятность случайного события.

^ Основные задачи реализации стохастической линии в 7 классе:

  • Ввести понятие перестановки и вывод формулы числа перестановок.

  • Познакомить учащихся с основными статистическими характеристиками: среднее арифметическое, мода, размах.

  • Формировать умение находить основные статистические характеристики для конкретного ряда данных, а также из таблиц и диаграмм.

  • Вырабатывать умение находить основные статистические характеристики в несложных случаях, учащиеся должны понимать их практический смысл в конкретных ситуациях.

Ввести первые статистические характеристики можно, используя ряд чисел, составленный из оценок, полученных за четверть. Для школьников очень актуален вопрос о том, какая оценка выйдет у них за четверть. Каждому учащемуся заранее можно выписать его оценки за четверть. Учитель выписывает на доске некоторый ряд оценок, и на его примере вводит понятия среднего арифметического и моды ряда чисел. Дети для закрепления этих понятий, находят эти статистические характеристики каждый для своего ряда.

Также нужно обратить внимание, что моду может иметь не только числовой ряд. Приведем пример: каждому учащемуся задали вопрос: «какой ваш любимый предмет?» или «кто ваш любимый учитель?». Полученные ответы будут составлять ряд, модой которого будет наиболее часто встречающийся ответ на данный вопрос. Мода – это показатель, который широко используется в статистике. Одним из наиболее частых использований моды является изучение спроса. Например, при решении вопроса, в пачки какого веса фасовать масло, какие открывать новые автобусные маршруты и т.п. предварительно изучается спрос и выявляется мода – наиболее часто встречающийся заказ.

Однако нахождение среднего арифметического или моды ряда далеко не всегда позволяет делать надёжные выводы на основе статистических данных.

Например, на планете Меркурий средняя температура +15. Исходя из этого статистического показателя, можно подумать, что на Меркурии умеренный климат, удобный для жизни людей. Однако на самом деле это не так. Температура на Меркурии колеблется от -150 до +350.

Значит, если у нас есть ряд данных, то для обоснованных выводов и надежных прогнозов на их основе помимо средних значений надо еще указать, насколько используемые данные различаются между собой. Одним из статистических показателей различия или разброса данных является размах. Размах – это разность наибольшего и наименьшего значений ряда данных. Для температуры на Меркурии, например, размах равен 350-(-150)= 500. Конечно, такого перепада температур человек выдержать не может.

Помимо размаха, во многих случаях важны сами наибольшие или наименьшие значения данных. Например, если посылается спутник для исследования того же Меркурия, необходимо, чтобы приборы работали и при максимальных, и при минимальных возможных там температурах.

Сначала нужно рассмотреть задачи, где дан конкретный ряд данных и нужно определить его среднее арифметическое, моду и размах. А затем перейти к задачам, где необходимо понимать смысл этих характеристик.

К 7 классу учащиеся уже должны иметь навыки систематического перебора и быть знакомы с основными методами подсчета возможных вариантов. В 7 классе продолжаем решать задачи на подсчет возможных вариантов различными способами, а также вводим понятие перестановки.

Раньше учащиеся уже сталкивались с перестановками, когда подсчитывали сколькими способами можно упорядочить несколько (2,3 или 4) элементов, но само понятие перестановки еще не вводилось.

В теории вероятностей вновь обращаемся к экспериментам. Можно использовать результаты экспериментов проведенных ранее, и провести новые опыты. Результаты проведенных экспериментов будут нагляднее, если по данным таблицы зависимость частоты появления результата «острие вниз» от количества экспериментов представить графически. Ось абсцисс – число экспериментов, ось ординат – частота появления результата «острие вниз».

Зная относительную вероятность события (частотную), можно прогнозировать частоту его появления в будущем.

^ Основные задачи реализации стохастической линии в 8 классе:

  • По статистическим данным, представленным в таблице. уметь находить основные статистические характеристики.

  • Познакомить с еще одной статистической характеристикой – медианой ряда, формировать умение по её нахождению

  • Рассмотреть равновероятные события и ввести классическое определение вероятности.

  • Формировать представление о геометрической вероятности

В 7 классе мы уже рассматривали примеры, в которых основные статистические характеристики находили по таблицам.

В 8 классе вводится новая статистическая характеристика – медиана. Введем это понятие на примере: в таблице №1 показан расход электроэнергии в январе жильцами девяти квартир.

Таблица №1.

Номер квартиры

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Расход электроэнергии

в кВт/ч.

85

64

78

93

72

91

72

75

82

Составим из полученных данных упорядоченный ряд:

64, 72, 75, 78, 82, 85, 91, 93.

В нем девять чисел. В середине ряда расположено число 78: слева от него записаны четыре числа и справа тоже четыре. Говорят, что число 78 является медианой.

В предыдущих классах мы рассмотрели, как можно оценивать вероятность, исходя их статистических данных. Такая вероятность приближенно равна частоте наступления интересующего нас события при проведении большого числа одинаковых случайных экспериментов. Но частота дает лишь приближенное значение вероятности. И кроме того, не всегда реально осуществить такую серию экспериментов.

Существуют и другие способы вычисления вероятностей. Если все исходы случайного эксперимента равновероятны, тогда вероятности каждого такого исхода можно подсчитать, не проводя экспериментов. Примером является подбрасывание монеты. Этот эксперимент имеет два исхода – «орел» и «решка», и они равновероятны. Тогда можно сказать, что вероятность каждого из них равна , почти такой же результат получен и при проведении экспериментов. Аналогично для «правильного» кубика все шесть исходов равновозможны, тогда вероятность каждого из них равна 1/6.

^ Какова вероятность того, что при бросании правильного кубика выпадет четное число очков?

Мы знаем, что при бросании кубика возможны 6 равновероятных исходов. При этом только три из них приводят к наступлению события «выпадет четное число очков». Поэтому вероятность такого события равна 3/6 = 1/2.

Исходы наступления события, для которого вычисляем вероятность, будем называть благоприятными. И дадим такое определение вероятности:

Вероятностью ^ Р наступления случайного события А называется отношение m/n, где п – число всех возможных исходов эксперимента, а m – число всех благоприятных исходов: Р(А) = т/п.

Это классическое определение вероятности.

Кроме статистического и классического определений вероятности существует еще геометрическая вероятность. Рассмотрим следующий пример. На квадратном столе выделен черный квадратик. Как определить вероятность того, что фишка попадет в черный квадратик, если ее бросить на стол наугад.

Эта вероятность равно отношению площади черного квадрата к площади поверхности стола. Если, например, площадь стола равна 0,6м, а площадь черного квадрата – 0,04 м, то Р = 0,04/0,6 = 1/15.

Основные задачи реализации стохастической линии в 9 классе:

  • На основе всех ранее полученных знаний показать их применение для статистического исследования

  • Познакомить с такими понятиями как генеральная совокупность, репрезентативная выборка, выборочное обследование. Интервальный ряд.

  • Познакомить с новым видом графического представления результатов статистического исследования – полигонами и гистограммами.

В 9 классе рассматриваются статистические исследования, на примерах, близких жизненному опыту учащихся. Это – «Исследование качества знаний школьников», «Удобно ли расположена школа?» и «Куда пойти работать?».

Рассмотрим исследование качества знаний школьников, на примере изучения математической подготовки школьников. Предположим, что в одном из регионов решили выяснить уровень знаний девятиклассников по математике и составили контрольную работу из 6 заданий. Довольно сложно организовать во всех школах региона одновременное проведение, проверку и обработку полученных результатов. Но, как утверждает статистика, для получения вполне достоверной информации достаточно провести выборочное обследование, т.е. проверить лишь часть школьников.

Все девятиклассники региона будут представлять собой генеральную совокупность, о которой будем судить по репрезентативной (представительной) выборке. Обычно ограничиваются обследованием 5-10% всей изучаемой совокупности, при этом осуществляется случайный отбор, обеспечивая одинаковую вероятность попадания в выборку любого объекта генеральной совокупности.

Рассмотрим возможные результаты такого выборочного обследования по некоторому городу региона. Пусть в городе проживают 710 девятиклассников, из которых случайным образом было выбрано 50. против каждой фамилии выставили число верно решенных задач и получили следующий ряд:

4; 2; 0; 6; 2; 3; 4; 3; 3; 0; 1; 5; 2; 6; 4; 3; 3; 2; 3; 1; 3; 3; 2; 6; 2; 2; 4; 3; 3; 6; 4; 2; 0; 3; 3; 5; 2; 1; 4; 4; 3; 4; 5; 3; 2; 3; 1; 6; 2; 2.

На основании этого ряда трудно сделать какие-либо определенные выводы, и чтоб удобнее было анализировать информацию, в подобных случаях числовые данные ранжируют, располагая их в порядке возрастания. В результате ранжирования ряд примет такой вид:

0;0;0; 1;1;1;1; 2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2; 3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;

4;4;4;4;4;4;4;4; 5;5;5; 6;6;6;6;6.

Мы видим, что ряд разбился на 7 групп. Каждая группа представляет определенный результат эксперимента: не решено ни одной задачи, решена одна задача и т.д. По этому ряду мы можем подсчитать частоту для каждого результата эксперимента. Например, частота появления события «девятиклассник не решил ни одной задачи» равна 3. Относительная частота равна отношению его частоты к объему выборки, т.е. 3/50, или 6%.

Для наглядности, рассмотрим табличное и графическое представление результатов.

Число верно решенных задач

0

1

2

3

4

5

6

Частота

3

4

12

15

8

3

5

Относительная частота (в %)

6

8

24

30

16

6

10

Построим диаграмму:



Кроме диаграмм для графического представления результатов используют так называемые полигоны. Для их построения в системе координат отмечают точки, абсциссы которых – результаты случайного эксперимента, а ординаты – соответствующие им частоты. Для нашего случая полигон будет выглядеть следующим образом:



Так как мы полагаем, что выборка была репрезентативной, то на основании полученных результатов можно с достаточной уверенностью судить об уровне знаний всех девятиклассников города.

Например, в выборке 10% школьников решили все задачи. Значит можно ожидать, что и из 710 учеников примерно 10% справятся со всеми шестью заданиями. Это означает, что около 70 девятиклассников города обладают высоким уровнем математической подготовки.

Рассмотрим, какие еще выводы мы можем сделать на основе полученных данных. Считаем, что школьник, решивший не менее двух задач, достиг обязательного уровня знаний по математике. Судя по выборке таковых 12+15+8+3+5 = 43 человека, что составляет 86% от общего объема. Т.е мы можем предполагать, что 86% девятиклассников города имеют минимально необходимый уровень знаний.

Также мы можем найти основные статистические характеристики: моду – наиболее часто встречающийся результат (в нашем примере это результат «решены 3 задачи»), среднее арифметическое также равно 3, т.е. в среднем девятиклассник решает 3 задачи.

Чем же важны подобные исследования? Например, городское управление образованием могут интересовать средние результаты по школам, процент учеников, не справляющихся с программой. Высшие учебные заведения наверняка заинтересует количество учеников с высоким уровнем математической подготовки.

Преимущество обследования по репрезентативной выборке, в том, что не всегда выгодно проводить обследование всей генеральной совокупности, так как часто это бывает просто бессмысленно. Например, при проверке качества продукции, проверяя пропечен ли хлеб, годны ли консервы, абсолютно бессмысленно проверять всю продукцию, так как тогда придется вскрыть, а фактически испортить саму продукцию.

Рассматривая статистическое исследование вопроса «Удобно ли расположена школа?», сталкиваемся с тем, что имеем много различных значений, поэтому ранжирование не позволит нам выявить характерные черты ряда данных. В этом случае строят интервальные ряды, при построении которых можно по-разному разбивать их на промежутки. На основе полученных интервальных рядов строятся гистограммы.

Если позволяет время, можно рассмотреть вопрос «Куда пойти работать?», в процессе рассмотрения которого вводятся такие понятия, как выборочная дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

В 2003 г. опубликовано письмо Минообразования России «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы». В нём было рекомендовано начинать изучать этот материал в 5-х и 7-х классах. В настоящее время он включен в стандарт 2004 г. И есть во всех учебниках, имеющих гриф Министерства образования и науки РФ. В 2008 г. были сделаны первые шаги в решении вопроса включения заданий вероятностно - статистической линии в итоговую аттестацию по алгебре. На данном этапе было решено осуществлять проверку усвоения материала этой линии только на базовом уровне.

В 2010-2011 учебном году учащиеся 9 классов 30.90.2010, 14.10.2010, 14.12.2010 решая диагностическую работу в формате ГИА, столкнулись, что во всех вариантах в первой части содержатся 18 заданий, 1 из теории вероятностей, 1 из статистики. Таким образом, можно сделать вывод, что во время государственной аттестации за 2010-2011 учебный год стохастическая линия будет включена в базовую часть экзаменационной работы (Приложение 2).

^ Основные задачи реализации стохастической линии в 10-11 классах:

Если придерживаться предложенной методики преподавания теории вероятностей и математической статистики, то изучение стохастической линии должно заканчиваться в основной школе. В 10-11 классах рекомендуется данный материал включить в итоговое повторение и рассмотреть на консультациях по подготовке к ЕГЭ. Для расширения и углубления знаний можно предложить предметный курс по следующей программе: «Теория вероятностей и математическая статистика» (www.bogsosh1.moy.su). Данная программа отражает все вопросы, содержащиеся в кодификаторе:


^ Код раздела

Код контролируемого элемента

Элементы содержания, проверяемые

заданиями экзаменационной работы

6




Элементы комбинаторики, статистики и теории

вероятностей


6.1




Элементы комбинаторики

6.1.1

Поочередный и одновременный выбор

6.1.2

Формулы числа сочетаний и перестановок. Бином Ньютона

6.2




Элементы статистики

6.2.1

Табличное и графическое представление данных

6.2.2

Числовые характеристики рядов данных

6.3




Элементы теории вероятностей


6.3.1

Вероятности событий

6.3.2

Примеры использования вероятностей и статистики при

решении прикладных задач



загрузка...


Источник: http://do.gendocs.ru/docs/index-194900.html
Об обучении - еще:

Геометрия. 10-11 классы. (профильный уровень)

/ новогодние праздники для детей в тропарево

Выпускной в начальной школе. песни для выпускного

Библиотечные заметки

Ramatti

Оу впо "северный государственный



Copyrights ©2010-2013 astersoft.net :: Sitemap

По Русски Latviski English